传说，有一种叫做“点金石”的石头，它能将任何一种普通金属变成纯金。

流传的秘密中说，点金石就在黑海的海滩上，和成干上万的与它看起来一模一样的小石子混在一起，但秘密就在这儿。真正的点金石摸上去很温暖，而普通的石子摸上去是冰凉的。

有个人变卖了他为数不多的财产，买了一些简单的装备，在海边扎起帐篷，开始检验那些石子。于是，这就是他人生中的一个重大计划。

他知道，如果他捡起一块儿普通的石子并且因为它摸上去冰凉，那么就将其扔在地上，他有可能几百次地捡拾起同一块儿石子。所以，当他摸着石子冰凉的时候，他就将它扔进大海里。

就这样，他开始行动了，他这样干了一整天，却没有捡到一块儿是点金石的石子。然后他又这样干了一个星期，一个月，一年，三年。但是，他还是没有找到点金石。然而他继续这样干下去，捡起一块石子，是凉的，将它扔进海里等腰三角形周长公式，又去捡另一块，还是凉的，再把它扔进海里，又一块…

终于有一天，他捡起了一块石子，而且这块石子是温暖的…，但他把它随手就扔进了海里。他已经形成了一种习惯，把他捡到的所有石子都扔进海里。

他已经如此习惯于做扔石子的动作，以至于当他真正想要的那一块到来的时候，他也还是将其扔进了海里！

这个故事给与我们的启示：平日里的积累很重要，恰是因为这些事情的习惯带来的惯性，决定了你的成败。习惯了拥有。于是我们不懂珍惜：习惯了失去，于是我们不懂自信；习惯了等待，于是我们变得懒惰。

一个美国心理学家曾说过：“播下一个行动，收获一种习惯；播下一种习惯，收获一种性格；播下一种性格，收获一种命运。”好的习惯对人生的成败起着举足轻重的作用。

叶圣陶说，教育的目的就是培养习惯。

哲学家、心理学家威廉·詹姆斯说：“习惯使社会阶层自行分开，不相混杂。”

好的习惯就是促进你成功的基石，但坏的习惯也是你成功的绊脚石。许多的成功机会就是因为你的坏习惯而瞬间失去的。所谓好运，不过是好习惯的日积月累，让你有了吸引机遇的磁场、把握机遇的能力。

我们在观察后会发现，那些成绩优秀的学生往往学习很有条理性，而那些成绩欠佳的学生，往往处于混乱状态：上课找不见书，忘记老师布置的作业，回答问题没有条理性，桌子上一团糟，吃的喝的用的用过的都混杂在一起，占去大半个课桌等等。

对于等腰三角形问题常涉及分类讨论，方程思想等手段灵活运用，但不少学生没注意到这些，而导致解题错误，我们有必要养成分类讨论，方程思想等思想方法运用的习惯。

等腰三角形是一种特殊的三角形,是我们重点研究的几种三角形之一.它具有一些特殊性质，利用这些性质，可以解决有关三角形的边、角的证明及计算问题，也可以利用性质来进行有关线段、角的证明及计算问题.

1、等腰三角形的性质定理：

等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。

推论1：

等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边。即：等腰三角形的顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高三线互相重合（简称“三线合一”）．。

对称性：等腰三角形是轴对称图形，等腰三角形底边上的中线所在的直线是它的对称轴，或底边上的高所在的直线是它的对称轴，或顶角的平分线所在的直线是它的对称轴.

等腰三角形底边中线上的任一点到两腰的距离相等，因为等腰三角形底边中线就是顶角的角平分线、而角平分线上的点到角的两边距离相等。

性质1证明同一个三角形中的两角相等.是证明角相等的一个重要依据；推论1：用来证明线段相等，角相等，垂直关系等．

推论2：

等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°，即等边三角形是特殊的等腰三角形

2.等腰三角形判定定理

若一个三角形有两个角相等，那么两角所对边也相等.它与性质定理互为逆定理，判定也简写成“等角对等边”.

推论1 三个角相等的三角形是等边三角形.

推论2 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.

推论3 直角三角形中，若有一个锐角为30°，则该角所对的直角边为斜边的一半.

等腰三角形的判定是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据.等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理.

要证明一个三角形是等腰三角形，必须得到两边相等，得到两边相等的方法主要有：

（1）通过等角对等边；

（2）通过三角形全等得两边相等；

（3）利用垂直平分线的性质得到两边相等。

等边三角形的判定：（1）从边入手，证明三边相等；

（2）从角入手，证明三角相等或证明两个角都为60°；

（3）从边角入手，有一个角为60°的等腰三角形

例1．（2021秋郎溪县期末）已知实数x，y满足|x﹣5|+＝0，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是（）

A．20B．25

C．20或25D．以上答案均不对

【解析】：∵|x﹣5|+＝0，

∴x﹣5＝0，y﹣10＝0，解得x＝5，y＝10，

以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是10+10+5＝25，

∵5+5＝10等腰三角形周长公式，∴5，5，10不可能构成三角形．

故以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是25．故选：B．

变式1．（2022春玄武区校级期中）已知三角形的三边长分别为5、a、10，则a的取值范围是 ；如果这个三角形中有两条边相等，那么它的周长为 ．

【分析】：根据三角形的三边关系可得：10﹣5＜a＜10+5，即5＜a＜15，

∵这个三角形中有两条边相等，

∴a＝10或a＝5（不符合三角形的三边关系，不合题意，舍去）

∴周长为5+10+10＝25，故答案为：5＜a＜15；25．

变式2．（2022高邮市模拟）若一个等腰三角形的周长为32，则该等腰三角形的腰长x的取值范围是（）

A．0＜x＜32B．0＜x＜16C．8＜x＜16D．8＜x＜32

【分析】∵腰长为x，且等腰三角形的周长为32，

∴底边为32﹣2x，并且32﹣2x＞0，得x＜16，

又∵x+x＞32﹣2x，解得x＞8，

∴x的取值范围是8＜x＜16．故选：C．

变式3．（2021秋义乌市期末）△ABC为等腰三角形，周长为7cm，且各边长为整数，则该三角形最长边的长为 cm．

【分析】∵△ABC为等腰三角形，周长为7cm，且各边长为整数，

∴可能有以下几种情况：1，1，5；1，3，3；2，2，3，

∵1+1＜5，∴只有1，3，3；2，2，3，两种情况，最长边为3cm，故答案为：3．

例2．（2022春六盘水期中）如图，点D为△ABC的边BC上一点，且满足AD＝DC，作DE⊥AB于点E，若∠BAC＝70°，∠C＝34°，则∠ADE的度数为（）

A．60°B．58°C．56°D．54°

【解析】：∵AD＝DC，∠C＝34°，∴∠DAC＝∠C＝34°，

∵∠BAC＝70°，∴∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC＝70°﹣34°＝36°，

∵DE⊥AB，∴∠AED＝90°，∴∠ADE＝90°﹣36°＝54°．故选：D．

变式1．（2021秋南昌期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ABM＝∠CBN，MN＝BN，则∠MBC的度数为（）

A．45°B．50°C．55°D．60°

【分析】设∠ABM＝∠CBN＝x，∠MBN＝y，可得∠ABC＝2x+y，根据MN＝BN，有∠BMN＝∠MBN＝y，故∠A＝∠BMN﹣∠ABM＝y﹣x，又AB＝AC，得∠C＝∠ABC＝2x+y，根据∠A+∠ABC+∠C＝180°，得（y﹣x）+（2x+y）+（2x+y）＝180°，即得x+y＝60°，故∠MBC＝60°．故选：D．

变式2．（2021秋招远市期末）在△ABC中，AB＝AC，∠B＝70°，在直线BC上取一点P，使CP＝CA，连接AP，则∠BAP的度数为（）

A．15°B．55°C．15°或55°D．15°或75°

例3．（2021秋万州区期末）已知等腰三角形有一个角为50°，则这个等腰三角形的底角度数是（）

A．65°B．65°或80°C．50°或80°D．50°或65°

【分析】由于不明确50°的角是等腰三角形的底角还是顶角，故应分50°的角是顶角和底角两种情况讨论．

【解答】：分两种情况：

①当50°的角为等腰三角形的顶角时，

底角的度数＝（180°﹣50°）÷2＝65°；

②当50°的角为等腰三角形的底角时，其底角为50°，

故它的底角度数是50°或65°．故选：D．

变式1．（2021秋唐山期末）数学课上，张老师举了下面的例题：

例1：等腰三角形ABC中，∠A＝110°，求∠B的度数．（答案：35°）

例2：等腰三角形ABC中，∠A＝40°，求∠B的度数．（答案：40°或70°或100°）

张老师启发同学们进行变式，小敏编了如下一题：

变式等腰三角形ABC中，∠A＝80°，求∠B的度数．

（1）请你解答以上的变式题．

（2）解（1）后，小敏发现，∠A的度数不同，得到的∠B度数的个数也可能不同，如果在等腰三角形ABC中，设∠A＝x°，当∠B有三个不同的度数时，请你探索x的取值范围．

变式2．（2022春牡丹区月考）等腰三角形一边上的高等于这条边的一半，那么顶角是（）

A．45°B．30°或90°

C．90°或150°D．30°或90°或150°

【分析】分三种情形①BD是腰上的高．②AD是底边上的高，分别求解即可．③△ABC是钝角三角形．

① 如图1中，∵AB＝AC，BD⊥AC，

BD＝1/2AC＝1/2AB，

∴sinA＝1/2，∴∠A＝30°；

② 如图2中，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝CD，

∵AD＝1/2BC，∴AD＝DB＝DC，

∴∠DAB＝∠DAC＝45°，∴∠BAC＝90°；

③如图，AB＝AC，BD⊥AC，BD＝1/2 AB，

则∠BAD＝30°，∠BAC＝150°，

∴等腰三角形的顶角为30°或90°或150°故选：D．

变式3．（2022秦淮区一模）如图，M，N是∠AOB的边OA上的两个点（OM＜ON），∠AOB＝30°，OM＝a，MN＝4．若边OB上有且只有1个点P，满足△PMN是等腰三角形，则a的取值范围是 ．

【分析】分两种情况，①作线段MN的垂直平分线交OB于点P，连接PM，PN，过点M作MH⊥OB于点H，当MH＝MN时，a＝8，即可求出a的取值范围；②当△PMN是等边三角形时，根据等边三角形的性质可得OM＝MP＝MN，求出a，即可确定a的取值范围．故答案为：a＝4或a＞8．

变式4．（2022赣州一模）在数学实践课上，张老师请同学们在一张长为9cm，宽为8cm的长方形纸板上，剪下一个腰长为5cm的等腰三角形（要求等腰三角形的一个顶点与长方形的一个顶点重合，其余两个顶点在长方形的边长上），则等腰三角形的周长为 cm．

【分析】（1）在BA、BC上分别截取BE＝BF＝5cm；

（2）在AB上截取BE＝5cm，以E为圆心，5cm长为半径作弧，交AD于F；

（3）在BC上截取BE＝5cm，以E为圆心5cm为半径作弧，交CD于F．

变式5．（2022五华区一模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，其中一个锐角为60°，AB＝10．若点Q在直线AB上（不与点A、B重合），当∠QCB＝30°时，CQ的长为 ．

【分析】分∠ABC＝60°、∠ABC＝30°两种情况，利用数形结合的方法，分别求解即可．

例4．（2022建湖县一模）如图，每个小方格的边长为1，A，B两点都在小方格的顶点上，点C也是图中小方格的顶点，并且△ABC是等腰三角形，那么点C的个数为（）

A．1B．2C．3D．4

【解析】根据“两圆一线”模型画图找点即可．如图，C点与P、Q、R重合时，均满足△ABC是等腰三角形，故选：C．

变式1．（2022淮北一模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝8、AC＝6，若点P为直线BC上一点，且△ABP为等腰三角形，则符合条件的点P有（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

【分析】依据点P为直线BC上一点，且△ABP为等腰三角形，需要分三种情况进行讨论，即①AB＝AP，②BA＝BP，③AP＝BP，据此通过画图即可得出点P的位置．

变式2．（2021秋头屯河区期末）如图，在平面直角坐标系中，点A（4，2），点P在坐标轴上，若以P、O、A为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P共有（）个．

A．5B．6C．8D．9

【分析】分为三种情况：①OA＝OP，②AP＝OP，③OA＝OA．分别以点O、A为圆心，以OA的长度为半径画弧，作OA的垂直平分线，即可得到点P的位置．

如图所示，分别以点O、A为圆心，以OA的长度为半径画弧，与坐标轴的6个交点即为所求；作OA的垂直平分线，与坐标轴的2个交点即为所求；

综上所述，满足条件的点P有8个．故选：C．

例5．（2021秋湖里区期末）经过三角形一个顶点及其对边上一点的直线，若能将此三角形分割成两个等腰三角形，称这个三角形为“钻石三角形”，这条直线称为这个三角形的“钻石分割线”．

例如，如图，△ABC中，点D在AB边上，若AD＝DC＝CB，则称△ABC是“钻石三角形”，直线CD是△ABC的“钻石分割线”．

（1）已知Rt△ABC中，∠A＝90°，∠B＝60°，则Rt△ABC “钻石三角形”（填“是”或者“不是”）；

（2）已知，△ABC是“钻石三角形”，∠A＞∠B＞∠C，直线BD是△ABC的“钻石分割线”，探求∠ABC与∠C之间的关系．