被夹体截面惯性矩估算公式

从《》中可知，为确定偏心夹紧螺丝联接柔度，须要求解被夹体因为弯曲变型而形成的变型量，而这须要首先求解被夹体的弯曲柔度βP。被夹体的弯曲柔度可理解为被夹体遭到单位扭矩作用时而形成的角变型量。因而弯曲柔度βP可表示为：

式中：M为扭力，θ为扭力作用而形成的拐角，lK为夹紧宽度，EP为被夹体的弹性泊松比，IBers为被夹体的截面惯性矩。

在确定偏心夹紧螺丝联接的柔度时，关键步骤为确定被夹体的截面惯性矩。VDI2230规范觉得，只有被夹体的变型体（变型锥或变型筒）在夹紧后会形成弯曲变型，因而须要确定变型体的截面惯性矩。对于DA>dw（即被夹体规格小于螺丝头或螺栓支承面半径）的情况，若被夹体的高度为h，则其截面惯性矩可表示为：

上式适用于估算具有任意形状的变型体的截面惯性矩，I(y)表示沿被夹体高度方向座标为y处截面的截面惯性矩。这儿，IB可视为具有非均匀截面的变型体的等效截面惯性矩，等效原则为促使具有非均匀截面的变型体与截面惯性矩为IB的均匀截面变型体具有相同的弯曲挠度。

考虑具有非均匀截面的变型体中的任意一个微段，该微段的高度为dy，截面惯性矩为I(y)，因而其弯曲柔度可表示为：

沿变型体的高度方向积分，可以得到具有非均匀截面的变型体的弯曲挠度可表示为：

按照弯曲挠度等效的原则，考虑一个高度同样为h，但具有均匀截面的变型体，为促使该变型体的弯曲挠度与均有非均匀截面的变型体的弯曲挠度相同，则其截面惯性矩IB必然满足：

因而非均匀截面变型体的等效截面惯性矩为：

变型锥和变型筒的截面惯性矩

同心夹紧螺丝的变型锥

基于上式可以十分容易地确定变型锥的截面惯性矩。对于同心夹紧的变型锥，VDI2230规范强调，其截面惯性矩可表示为：

式中：dw和DA分别为支承面半径和取代直径。实际上，这两个参数分别代表了变型锥的底部半径和顶部半径。

下边给出其推论过程。考虑一个顶部半径为DA，底部半径为dW的变型锥，其高度为h，注意因为螺丝的弯曲变型也被记入到被夹体中，故不考虑螺丝通孔，这一点与估算被夹体的轴向柔度有所区别。为此，距离顶部为z的截面半径d可表示为：

设变型锥的锥角为φ，则顶部和底部半径满足如下所示的关系：

代入上式可得：

对于圆截面，其截面惯性矩可表示为：

为此，变型锥的等效截面惯性矩可表示为：

已知

故变型锥的等效截面惯性矩为：

偏心夹紧螺丝的变型锥

对于偏心夹紧螺丝的变型锥，VDI2230规范强调，其截面惯性矩为：

式中：IVBers为同心夹紧时的截面惯性矩。

不难发觉，上式是通过平行散景定律得到的，其目的是通过将同心夹紧时的弯曲中心（螺丝轴线）联通到被夹体纵向对称变型中心。这儿有两个须要注意的地方，第一个为使用平行散景定律时，使用的截面积的半径为DA。因为这是一个变型锥，因而其截面积半径是从螺丝头支承面半径dW逐渐过渡到DA的，倘若直接使用DA进行估算，则会促使估算得到的截面惯性矩要小于真实的截面惯性矩，从而低估了被夹体的弯曲挠度（EPIBers）。依照上面的公式可知，这会促使估算得到的被夹体柔度δP*大于真实的被夹体柔度，从而促使估算得到的螺丝荷载大于真实的螺丝荷载（被夹体柔度变小，变硬了，承当了更多的荷载，分配到螺丝上的荷载就变少了）。

第二点须要注意的是，被夹体的变型是因为螺丝头支承面将其压紧而形成的，因而被夹体的变型区域是从螺丝头的支承面逐步沿螺丝轴线向被夹体分界面扩散的。为此，在这些情况下，变型体的纵向变型中心应当是与垫圈轴线重合的。这其实并不属于偏心夹紧的情况，由于从里面的公式也可以看出，其假设变型体的弯曲中心实际上与垫圈轴线存在一个偏心距ssym。这么哪些时侯就会出现此类情况呢？似乎只有当被夹体的变型锥被被夹体的边界所截断的时侯。这个时侯被夹体的变型区域由变型锥和变型筒构成，此时变型筒的半径即为整个分界面处的半径，这些情况通常出现在被夹体长度较厚时。其实，此时分界面的中心与垫圈轴线是可能存在偏心距的。这也是为何上面在定义ssym时，指出检测点应当是被夹体纵向对称变型中心，而非分界面的中心。图1挺好地解释了这个观点。

图1同心夹紧与偏心夹紧时的变型锥

对于图1右边的螺丝联接，因为被夹体的变型锥可以没有妨碍地延展到螺母轴线/工作荷载作用线平面内的分界面，这促使变型体可以以纵向对称的形式产生，此时虽然螺丝的轴线没有坐落被夹体分界面的中心线上，其一直是同心加载的。这与图1右边的螺丝联接存在本质区别。

变型筒

对于变型筒，其截面惯性矩可表示为：

式中：b代表分界面厚度，cT代表垂直于分界面厚度的规格。

这儿比较奇怪的一点在于上式实际上代表是是一个长和宽分别为b和cT的圆形截面的截面惯性矩。而假如觉得弯曲变型体是一个变型筒，即便应当是一个圆截面。这儿笔者觉得VDI2230规范这么考虑的缘由是：假如觉得螺丝的夹紧部件是一个多面体体，则当变型锥被多面体体的边沿截面以后，即便整个多面体体均参与了弯曲变型，因而应当以整个多面体体的截面来确定截面惯性矩。

变型锥与变型筒组合

对于变型锥与变型筒组合的情况，其截面惯性矩可表示为：

事实上，上式可通过非均匀截面的变型体的等效截面惯性矩估算公式获得。在基本体的几何形状为“锯齿状”的情况下（头部、凹槽），在所谓的阶梯状弯曲体中，可能会出现几个不同的截面惯性矩IB1、IB2至IBn，用于具有相应宽度比列的弯曲体，它们组合成所谓的等效截面惯性矩IBers。

设l1+l2+…+ln=lK，其对应的截面惯性矩为IB1、IB2至IBn，则等效截面惯性矩为：