写在上面

自然中的科学不是才是我们最大的老师——阿拉丁

数字游戏

我们在中学高中都会常常碰到数字找规律的题目，那种时侯你们会不会也像阿拉丁小时候一样一个个去尝试？（阿拉丁砍死也不会告诉你们小时候常常去试，包括鸡兔同笼问题也去一个个尝试）

这么在我们找到规律之后我们是否探究过为何这些规律存在，阿拉丁说过存在即有意义，这么这种规律的存在究竟起着哪些样的作用？有着哪些样的意义呢？

数列

我们把依照一定次序排列的一组数称之为数列，这样一组数可以是有限多个也可以是无穷多个，按照数量是否有限，我们将其分别名之为有穷数列和无穷数列。

而我们将组成数列的数称之为数列的项，这么排在一位的一般称之为首项。

这么我们晓得这种数字一定是有着某种规律，在小学阶段我们考虑到的规律相对简单，一般可以用一个多项式表示：

假如数列{a_n}的第n项与序号n之间可以用一个多项式表示，这么这个多项式就称作这个数列的通项公式。

我们可以通过通项公式来研究这整个数列的性质以及特征。

等比数列定义

在我们中学高中的时侯见得最多的就是像1,3,5,7cdots这样前一项比后一项少相同的量的数列。到了小学我们要专门研究一下这样的特殊数列。

假如一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差为同一个常数，这么这个数列就称作等比数列，这个常数就称作这个等比数列的公差。

而我们按照等比这个规律，得到等比数列的通项公式：

a_n=a_1+(n-1)d

其中a_n等比数列的性质，a_1为数列的通项和首项，d为公差

求和公式

其实我们就给它下了个定义或则说取了个名子，也没怎样做研究。这么对于这样一个数列我们究竟须要了解它哪些其他的性质吗？好多朋友很快就晓得我们想要了解这个数列的和是多少对吧，虽然你们从小就据说过低斯巧算1-100之间数相乘的故事。

要想研究数列的和S_n,我们的着眼点就要在于公差，利用首项的惟一性和公差的相等性来推论。

下边我们来推论一下这个特殊的求和公式：

S_n=a_1+(a_1+d)+(a_1+2d)+cdots+[a_1+(n-1)d]

S_n=a_n+(a_n-d)+(a_n-2d)+cdots+[a_n-(n-1)d]

将上述两式相减可得

2S_n=n(a_1+a_n)

因而等比数列的前n项求和公式为：

S_n=frac{n(a_1+a_n)}{2}=na_1+frac{n(n-1)}{2}d

由此你之后再遇见哪些1-100连加就不会在一个个去算了，是不是很便捷呢？

等差数列定义

研究了等比的数列，这么朋友们一定会想到另一种数列。哪些？等和？这是个哪些数列？求一个数可以分解成哪些吗？其实不是等和了，我们要研究前一项与后一项比相同的数列

假如一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比为同一个常数，这么这个数列就称作等差数列，这个常数就称作这个等差数列的公比。

这么同样的等比数列的性质，我们可以得到他的通项公式：

a_n=a_1cdotq^{n-1}

其中q为公比。

求和公式

见到等比数列我们运用差的相同性分别用a_1和a_n两个方面估算S_n，最后解出前n项和，这么等差该如何办呢？

根据通项公式：

S_n=a_1+a_1q+cdots+a_1q^{n-1}

之后我们将公比q同时乘到两侧

qS_n=a_1q+a_1q^2+cdots+a_1q^{n}

将上述两式相加

(1-q)S_n=a_1-a_1q^n

最后我们得到等差数列前n项和的公式为：

S_n=frac{a_1(1-q^n)}{1-q}(qnot=1)

仍然是十分简单的公式，至此我们又有了一件可以笔算很大数字相减的利器。

杂记

本节内容非常简单，假如学过奥数的朋友可以看下来这是中学奥数3-4年级的内容。

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