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微积分的本质吧！

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椭圆的面积

在积分中，一味地分割图形并相加，这种方法到底有何独到之处？

使用这种方法的优势在于，“不管图形多么复杂，其面积都可以转化为简单图形的面积之和”。

圆的“伙伴图形”中用积分推导椭圆面积公式，存在一种名为椭圆的图形。如图 11 所示，椭圆看上去是把圆向一个方向拉长或收缩的图形。

图11椭圆

图11中是把圆横向拉长了，当然，也可以把圆纵向拉长。

日常生活中，与椭圆相似的图形并不少见，比如盘子、桌子、绣球花的叶子等（图12）。

图12椭圆形的物品

那么，椭圆的面积应该如何计算呢？椭圆的情况和圆不同，将其套入长方形中，使用近似的方法计算会产生很大的误差（图 13）。

图 13 用一个长方形近似太过勉强

套用平行四边形也不行，估计三角形也行不通。

我们需要一个椭圆面积的计算公式。现在已经有了长方形、三角形、平行四边形、梯形、圆形的面积计算公式用积分推导椭圆面积公式，如果再加上 椭圆面积公式的话，那么我们身边绝大多数图形的面积就都可以 计算出来了。

实际上，推导椭圆面积的计算方法并不需要什么特别的知识， 和推导圆形面积计算方法时相同，关键是“积分”式的思考方法。

日本的小学、初中阶段并没有讲授椭圆面积的相关知识，其实椭圆的面积计算非常适合作为积分的训练内容。那么，椭圆面积的计算公式究竟是什么呢？我们先来试着做一个思想实验。

图14把圆横向拉伸形成椭圆

图 14 是将圆横向拉伸形成的椭圆。我们先来尝试用“竖直的长方形”来分割这个椭圆。但是，直接用竖直长方形分割椭圆的 话，会不太好理解。所以我们先用长方形来分割圆形，然后再将这个圆形横向拉伸成椭圆。将圆横向拉伸的话，用于分割圆的长方形也会被横向拉伸。

图14把圆横向拉伸形成椭圆

把圆形横向拉伸时，圆中的长方形就会像手风琴被拉开时一样，全都被横向拉伸（图 15）。长方形会被扩大到原来的多少倍呢？我们选取其中一个长方形来具体看一看。

图14把圆横向拉伸形成椭圆

把圆形横向拉伸时，圆中的长方形就会像手风琴被拉开时一样，全都被横向拉伸（图 15）。长方形会被扩大到原来的多少倍呢？我们选取其中一个长方形来具体看一看。

图14把圆横向拉伸形成椭圆

如图 16 所示，长方形纵向长度不变，仅是横向宽度扩大到 a/b倍。

这样一来，想象出长方形被横向拉伸的情况，我们就可以开始着手计算了。也就是说，问题变成了计算“椭圆面积是圆面积的几倍”。

如果只看一个分割椭圆的长方形，那么分割椭圆的长方形应该a/b倍。也就是说，随着圆被拉伸成椭圆，分割圆的每个长方形的面积都扩大到了 a/b 倍。

也就是说，将所有被扩大到 a/b倍的长方形的面积相加，就可以得出椭圆的面积，所以，

反过来思考，我们也能发现，当 a 和 b 长度相等时，椭圆的面积公式就是圆的面积公式。

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本书为微积分入门科普读物，书中以微积分的“思考方法”为核心，以生活例子通俗讲解了微积分的基本原理、公式推导以及实际应用意义，解答了微积分初学者遭遇的常见困惑。本书讲解循序渐进、生动亲切，没有烦琐计算、干涩理论，是一本只需“轻松阅读”便可以理解微积分原理的入门书。

第 1章 积分是什么 1

积分的存在意义 2

积分应用的基础 2

所有图形都与长方形相通 5

近似的方法 8

和变为了积分 13

何为“接近精确值” 18

两个思想实验 20

椭圆的面积 20

地球的体积 25

切口的秘密 32

卡瓦列利原理 32

三分之一的原理 37

圆锥的体积 45

球的体积 48

球的表面积 54

感觉和逻辑 59

初中入学考试中的积分 59

像小学生那样求圆环体体积 67

把甜甜圈变成蛇的方法 69

帕普斯-古尔丁定理 73

第 2章 微分是什么 77

微分存在的意义 78

分析钻石的价格 78

“亮出指数”的理由 86

乘积的微分公式 94

从未知到已知 97

商的微分公式 100

再次扩展幂函数的微分公式 102

丰富多彩的函数世界 105

山峰和山谷 105

了解切线 109

根据单调性表画函数图像 113

最大值和最小值、极大值和极小值 117

手绘函数图像的意义 119

存在休息平台的函数 121

有预谋地使用微分 128

理想的冰激凌蛋卷筒 128

“忽略”与“不可忽略”的界线 138

第3章 探寻微积分的可能性 141

1800年后的真相 142

反军队式学习法 142

伟大的发现会成为未来的常识 144

基本定理的使用方法 152

填坑 160

自然常数从何而来 160

无限接近于精确的值 164

关键在于根号 166

转换思路能行得通吗 169

指数函数出现了 175

让关系更清晰 178

唯一一个微分后不会发生变化的函数 181

弯曲也没问题 184

测量曲线的长度 184

简洁的悬链线公式 187

验证项链的长度 194

微积分的真身 199

微分的可能性 199

微分相关的冒险 202

近似和忽略 205

后记 207

尾注 209

地球的体积

但是，地球的形状并不是“球”，还真是有点儿辜负“地球”这个名字。

地球的半径有一个特殊称呼。从地球中心到赤道的距离称为“长半径”（赤道半径），从中心到北极（南极）的距离称为“短半径”（极半径）。正如其名，两种半径的长度并不相同。根据具体的测量与计算可知，长半径约为 6378 km，短半径约为 6357 km，两种半径的长度差超过 20 km。

图17地球不是球吗！？

而且自转的速度相当快，赤道附近的速度可达 1700 km/h，是音速的 1.38 倍。

大家可以想象一下地球这种快速旋转的姿态，在这种情况下， 由于离心力的作用，地球被横向拉伸也是理所当然的。

像这种因为旋转而变形的形状，我们称之为“旋转椭圆体”。地球就是此类情况——从正上方（正下方）看会呈现为圆形，但从横向看则是椭圆。为了便于理解，大家可以看一下图 18 的示意图， 虽然画得有些夸张。

该如何求旋转椭圆体的体积呢？在这里，“分割图形”的作战策略又派上用场了。

图18旋转椭圆体

如图 19 所示，想象一下用鸡蛋切割器切水煮蛋的情景。我们这次是要将旋转椭圆体横向精细切割，虽然切的方向不同，但要点是一样的。

图 19 鸡蛋切割器

将旋转椭圆体横向切片后，旋转椭圆体就变成了重叠的圆板（图 20）。

旋转椭圆体的体积，似乎可以转化为“堆叠的圆板”来计算。因此，将圆板堆叠的方向定为x 轴，也就是垂直方向。圆板的切口则与x 轴为垂直关系。这与用积分符号表示圆形面积的情况相同。在x 轴上，我们试着切出宽度为△x 的圆板。这样一来，这个圆板的体积就可以用下面的式子表示：

这样的话，把从最下方到最上方的所有圆板体积相加，其总和就是旋转椭圆体的体积。

这个旋转椭圆体的体积也可以使用积分符号来表示。

图20用积分符号表示旋转椭圆体的体积

如果不断使 △x 变小，圆板体积的和就会渐渐接近“旋转椭圆体的实际体积”。用公式表示上述内容的话，旋转椭圆体的体积为：

这和计算圆面积时的公式非常相似。

现在大家大概了解积分符号的使用方法了吧。

现在，回到地球体积的话题上来。

如前面的图 18 所示，我们设旋转椭圆体的长半径为 a，短半径为 b。这样一来，旋转椭圆体就可以视为“将半径为 a 的球体纵向 b/a倍的图形”。如果把球体看作“薄硬币堆叠而成的集合体”，那么旋转椭圆体则是“把（分割球体的）薄硬币的高度分别压缩 b/a倍的图形”。

也就是说，旋转椭圆体的体积变成了半径为 a 的球的体积的 b/a倍。因为半径为 a 的球的体积是 4/3 πa³ ，所以旋转椭圆体的体积是4/3 πa³ 的 b/a 倍。总结一下，公式如下所示。

旋转椭圆体的体积

在这里，即使不知道具体的计算方法也没有关系，只要能明白算式的意思就行了。

把地球的长半径 a = 6378 km、短半径 b = 6357 km 代入上面的公式。取π为 3.14，则地球的体积大约为1.08×10^12 km³ 。这和边长为 10 000 km 的立方体的体积大致相等。

图21地球和边长为10 000 km的立方体的体积大致相等

虽然计算了很多东西，但是最后得出来一个简洁的数值，还是很有趣的。(本节完)