明天，在知乎上听到有人说，微积分课本上推论重要极限lim_{xto0}frac{sinx}{x}=1的时侯使用了圆的边长、面积公式，从而能够推出sinx,cosx的行列式，并且在讲圆的边长公式的推论的时侯又用了三角函数的求导，这是不是一个循环论证？这篇短文就来梳理一下其中的逻辑关系。

一、圆的边长

直径为R的圆gamma的多项式是x^2+y^2=R^2，按照弦长的定义，边长C=oint_gammads=2int_{-R}^Rfrac{R}{sqrt{R^2-x^2}}dx=2Rint_{-1}^1frac{dt}{sqrt{1-t^2}}.按照lim_{tto1}frac{sqrt{1-t}}{sqrt{1-t^2}}=frac{sqrt{2}}{2}知int_{-1}^1frac{dt}{sqrt{1-t^2}}收敛.定义pi=int_{-1}^1frac{dt}{sqrt{1-t^2}},有如下定律

定律1：圆的边长与半径（直径）成反比，C=pid=2pir.

因为直径相同的圆都是全等的，圆周可以视作周角所对的弧形周长的计算公式，因而接出来我们研究同一圆内的弦长。假定有一段弧形，所对的圆心角是theta（注意我们并没有引入角的测度）.我们晓得，由垂径定律，相等的圆心角所对的弦长相等。用C_theta表示theta所对的弦长,则C_{qtheta}=qC_theta,qin{Q}^+.注意，每一个正实数都可以是一个正有理数列的极限，因而C_{xtheta}=xC_theta,xin{R}^+,即：

定律2：同一圆内，弦长与圆心角的大小成反比.

二、角的测度

角的静态定义给出了零角到一个周角范围之内的角。设表示一个周角，theta是个一个零角到一个周角之间的角，即0leqthetaleq.由定律2，C_{theta,r}=frac{theta}{}2pir,即弦长反比于圆心角和ab直径，比列系数为k=frac{2pi}{}.此时，frac{C_{theta,r}}{r}=ktheta只与圆心角的大小有关，因而可以拿来评判一个角。为了便捷周长的计算公式，取k=1,此时=2pi,根据比列我们也可以测度其他角。在这些测度形式下，C_{1,r}=r,即大小为1的圆心角所对的弦长等于直径。这些用弦长和直径的比值测度角的方法，我们称之为弧度制。

至于传统的角度制，即把一周角平均分为360份，每一份为1°的方法，实质就是取k=frac{pi}{180}，与弧度制虽然是等价的，并且弧度制愈发便捷，所以现代科学主要采用弧度制。

如今我们可以把角推广至任意角，并定义三角函数了.

三、圆的面积

由弧微分的几何意义，S=oint{1over2}Rds=piR^2.

至此我们早已有了推到重要极限和三角函数的求导的所有预备定律。